Kinematische Erzeugung der Hypotrochoiden

Hypotrochoide sind Spezialfälle von sog. Hypozykloiden. Das sind Bahnkurven, die ein fest mit einem Kreis K verbundener Punkt beschreibt, wenn K innen in einem anderen Kreis abrollt. Befindet sich der beobachtete Punkt außerhalb bzw. im Inneren des rollenden Kreises, so spricht man verschlungenen bzw. gestreckten Hypotrochoiden.

Betrachte man einen Punkt, der direkt auf dem abrollenden Kreis liegt, so spricht man von spitzen Hypozykloiden. Dabei entstehen „blumenartige“ Kurven, die man vielleicht von dem Spielzeug „Spirograph®“ kennt, aber auch der Kreis und die Ellipse sind Spezialfälle von Hypozykloiden.

Die Bahnpunkte können mit \[\begin{pmatrix}P_x\\P_y \end{pmatrix}(t)=\begin{pmatrix} (R-r)\cos\bigl(\frac rR t\bigr)+ b\cos\bigl(\frac{R-r}{R}t\bigr)\\ \bigl(R-r\bigr)\sin\bigl(\frac rR t\bigr)- b\sin\bigl(\frac{R-r}{R}t\bigr) \end{pmatrix}\] berechnet werden. Dabei ist $r$ der Radius des rollenden Kreises, $R$ der Radius des festen Kreises und $b$ gibt an, ob sich der beobachtete Punkt $P$ innerhalb des Kreises ($b < r$), auf dem Rand des Kreises ($b = r$) oder außerhalb des Kreises ($b > r$) befindet.

Anders als bei den Epitrochoiden entartet die Kurve für $R = r$ zu einem Punkt, da ein Kreis nicht in einem gleichgroßen Kreis abrollen kann. Bei spitzen Hypozykloiden entstehen für bestimmte Verhältnisse von $R$ und $r$ besondere Kurven, wie die Astroide $\bigl( \frac Rr = 4, b = r\bigr)$ und die Steiner’sche Kurve $\bigl( \frac Rr = 3, b = r\bigr)$.

Ein Diapositiv dieses Modells ist zu finden unter der Modellnummer 1419

Text geschrieben von: Julia Bienert