Bruhat-Tits-Gebäude

Die Modelle veranschaulichen die kombinatorische Struktur gewisser algebraischer Gebäude.

(1) Bruhat-Tits-Gebäude zur $GL_3$ über dem Körper $\mathbb{F}_2$ mit 2 Elementen.

(2) Bruhat-Tits-Gebäude zur $GL_3$ über dem Körper $\mathbb{F}_3$ mit 3 Elementen.

(3) Bruhat-Tits-Gebäude zur $GL_4$ über dem Körper $\mathbb{F}_2$ mit 2 Elementen.

Eine mögliche Beschreibung dessen, was die Modelle veranschaulichen: Jeder Knoten (d. h. jeder Punkt, in dem mehrere Drähte zusammenkommen) steht für einen nichttrivialen Untervektorraum eines gegebenen Vektorraumes; bei (1) der $\mathbb{F}_2^3$, bei (2) der $\mathbb{F}_3^3$ und bei (3) der $\mathbb{F}_2^4$. Jede Kante (also jede Drahtstrecke) steht für eine Enthaltensein-Relation. Bei (1) und (2) denke man sich in der oberen Ebene von Ecken alle eindimensionalen Unterräume (Anzahl: 7 bzw. 13) und in der unteren Ebene alle zweidimensionalen Unterräume (Anzahl ebenfalls 7 bzw. 13). Bei Modell (3) sind in der oberen Ebene die 15 ein-, in der mittleren Ebene die 35 zwei- und in der unteren Ebene die 15 dreidimensionalen Unterräume dargestellt.

Als Gebäude bestehen die Modelle vor allem aus sogenannten Zimmern. Bei den Modellen (1) und (2) stellt jeweils jedes Drahtstück ein Zimmer dar – beschrieben wird damit ein Paar eines eindimensionalen und eines zweidimensionalen Untervektorraums, von dem der erste im zweiten enthalten ist. Bei Modell (3) ergibt sich eine analoge Kette (man nennt dies allgemein eine Fahne) von drei ineinander enthaltenen Untervektorräumen; also quasi ein Dreieck aus Drahtstücken mit Eckpunkten in jeder der drei Ebenen, wobei aus Gründen der Übersichtlichkeit die Verbindungen von der ersten in die dritte Ebene nicht dargestellt wurden.

Von besonderem Interesse bei Gebäuden sind insbesondere Unterstrukturen namens Apartments. Bei den Modellen (1) und (2) sind dies sechs Zimmer (Drahtabschnitte), die kreisförmig aneinanderhängen. Im Modell (1) gibt es beispielsweise 28 solche Apartments. Im Modell (3) bestehen diese Apartments aus Strukturen mit jeweils 48 Dreiecken.

Aufgrund der Struktur der Apartments sind (1) und (2) Gebäude vom Typ $\mathsf{A}_2$, und (3) ist ein Gebäude vom Typ $\mathsf{A}_3$.

Text geschrieben von: Karsten Roeseler