Diapositiv: Krümmungskreise und Evolute der Ellipse

Modell 1160

Diapositiv: Krümmungskreise und Evolute der Ellipse
Rubrik:
A Ig 5; G 34

Beschreibung

Diapositiv: Krümmungskreise und Evolute der Ellipse

Ergänzungen

Das Diapositiv zeigt eine Ellipse (schwarz), also eine ebene Kurve k, welche durch die Gleichung \[\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 \] beschrieben wird und zu den eigentlichen Kegelschnitten gehört (vgl. Modell Nr. 45). Für jeden Punkt $P(x|y)$ der Ellipse kann ein Kreis bestimmt werden, der die Ellipse in $P$ berührt und dieselbe Krümmung aufweist. Auf dem Diapositiv sind diese sogenannten Krümmungskreise an k für fünf beliebig gewählte Punkte eingezeichnet (grün). Die rote Linie stellt einen Teil der zugehörigen Evolute der Ellipse dar. Dabei handelt es sich um die Ortskurve der Mittelpunkte der Krümmungskreise an k.

Die Evolute einer Ellipse ist eine schiefe Astroide, auch als Sternkurve bezeichnet, deren Punkte $(x|y)$ die Gleichung \[\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2/3}=1 \] erfüllen.

Text geschrieben von: Theresa Lange

Literatur

Hilbert, D.; Cohn-Vossen(1932). Anschauliche Geometrie, Springer-Verlag, Berlin. Online Version

Neuendorff, R.(1919). Die Krümmung der Kurven, Evolute und Evolvente in Lehrbuch der Mathematik, Springer Berlin Heidelberg, S. 254-259.